Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）經過A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)設點M是直線l上的一個動點，當點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3；(2) M(1,-2)；(3) ，（1，-4）.

【解析】

（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可；

（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，連接BC得出M點位置，即為符合條件的M點；

（3）根據題意可知OC=3，要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點的縱坐標為±4，設點N的坐標為（x，±4），代入函數解析式求解即可得出N點的坐標.

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

解得：

故拋物線的解析式：y=x2-2x-3．

（2）如圖所示：連接BC，交直線l于點M，此時點M到點A，點C的距離之和最短，

設直線BC的解析式為：y=kx+d，則

解得：

故直線BC的解析式為：y=x-3，
∵x=-=1，
∴x=1時，y=1-3=-2，
故M（1，-2）；

（3）存在，理由如下：

點C（0，－3），

∴OC=3，即三角形ABC的高為3

要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點的縱坐標為±4，

設N為（x，±4）

所以當y=4時，有x2-2x-3=4即x2-2x-7=0，解得

當y=-4時，有x2-2x-3=-4即x2-2x+1=0，解得x=1

所以N點的坐標為，（1，-4）