Question

14．已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無論k取何值，方程一定有兩個實數根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a=1，另兩邊b，c的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值得到△=（k-2）²，然后根據非負數的性質得△≥0，則根據判別式的意義得到結論；
（2）把x=1代入方程得出關于k的方程，求得k的數值即可．已知a=6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗

解答 解：（1）證明：∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴無論k取何實數，該方程總有實數根；
（2）①若a=1為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴（k-2）²=0，解得：k=2．
此時原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時△ABC三邊為1，2，2能構成三角形，
故周長為1+2+2=5；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b=a=1
代入方程：1²-（k+2）+2k=0
解得k=1，
則原方程化為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
即b=1，c=2，
此時△ABC三邊為1，1，2不能構成三角形，則舍去；
∴△ABC的周長為5．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根．