Question

【題目】某高科技發展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品，并投入資金1500萬元進行批量生產，已知生產每件產品的成本為40元．在銷售過程中發現，年銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），第一年年獲利（年獲利=年銷售額－生產成本－投資）為z（萬元）

（1）試寫出y與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）

（2）試寫出第一年年獲利z與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）

（3）請說明第一年公司是盈利還是虧損？求出當盈利最大或虧損最小時的產品售價

（4）公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價，進行銷售；第二年年獲利不低于1130萬元．請你借助函數的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍內

Answer 1

【答案】（1）y=－x+30；（2）；（3）第一年公司虧損了，當商品售價定為170元/件時，虧損最小，最小虧損為310萬元；（4）當120≤x≤220時，獲利≥1130，所以第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內

【解析】

（1）根據題意當銷售單價定位x元時，年銷售量減少萬件，然后據此進一步求出關系式即可；

（2）利用年獲利=年銷售額－生產成本－投資列出函數關系式進一步化簡即可；

（3）對（2）中的關系式進行因式分解，然后進一步求解即可；

（4）在（3）的基礎上對第二年的年獲利情況列出關系式，然后得出圖像進一步求解即可.

（1）由題意得：當銷售單價定位x元時，年銷售量減少萬件，

∴==－x+30，

∴y與x之間的函數關系式是：y=－x+30；

（2）由題意得：，

∴z與x之間的函數關系式為：；

（3）由（2）得：，

即：，

∴，∴第一年虧損了，

當時，取得最大值，最大值為萬元，

∴第一年公司虧損了，當商品售價定為170元/件時，虧損最小，最小虧損為310萬元

（4）當第二年的銷售單價定為x元時，

年獲利，

當時，

整理得：，

解得：，，

∴函數的圖像大致如圖所示：

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，獲利≥1130，

∴第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內．