Question

【題目】如圖，點A在x軸的正半軸上，以OA為直徑作⊙P，C是⊙P上一點，過點C的直線y＝ x＋ 與x軸，y軸分別相交于點D，點E，連接AC并延長與y軸相交于點B，點B的坐標為(0， )．

（1）求證：OE＝CE；
（2）請判斷直線CD與⊙P位置關系，證明你的結論，并求出⊙P半徑的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接OC，

∵直線y＝ x＋ 與y軸相交于點E，

∴點E的坐標為(0， )，即OE＝ .

又∵點B的坐標為(0， )，

∴OB＝ ，

∴BE＝OE＝ ，

又∵OA是⊙P的直徑，

∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，

∴OE＝CE.

（2）直線CD是⊙P的切線．

證明：連接PC，PE，由(1)可知OE＝CE.

在△POE和△PCE中，

∴△POE≌△PCE，

∴∠POE＝∠PCE.

又∵x軸⊥y軸，

∴∠POE＝∠PCE＝90°，

∴PC⊥CE，即PC⊥CD.

又∵直線CD經過半徑PC的外端點C，

∴直線CD是⊙P的切線．

∵對y＝ x＋ ，當y＝0時，x＝－6，即OD＝6，

在Rt△DOE中，DE＝ ＝ ＝ ，

∴CD＝DE＋EC＝DE＋OE＝ ＋ ＝ .

設⊙P的半徑為r，

則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2＋CD2＝PD2，

即r2＋(6 )2＝(6＋r)2，

解得r＝6，即⊙P半徑的值為6.

【解析】（1）連接OC，利用已知條件計算出CE和OB的長度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明OE=CE。
（2）①要證直線CD是⊙P的切線，需證明PC⊥CD，先證明△POE≌△PCE，得出∠POE＝∠PCE，再根據∠POE是直角，證明PC⊥CD即可得出結論；
②設⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關于r的方程，求出r即可。