Question

某大學畢業生響應國家“自主創業”的號召，投資開辦了一個裝飾品商店，該店采購進一種今年新上市的飾品進行了30天的試銷售，購進價格為20元／件。銷售結束后，得知日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：P=-2x+80（1≤x≤30，且x為整數）；又知前20天的銷售價格Q₁（元／件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：（1≤x≤20，且x為整數），后10天的銷售價格Q₂（元／件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：Q₂=45（21≤x≤30，且x為整數）。
（1）試寫出該商店前20天的日銷售利潤R₁（元）和后10天的日銷售利潤R₂（元）分別與銷售時間x（天）之間的函數關系式；
（2）請問在這30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大？并求出這個最大利潤。
注：銷售利潤=銷售收入-購進成本

Answer 1

解：（1）根據題意，得
R₁=P（Q₁-20）=（-2x+80）=-x²+20x+800（1≤x≤20，且x為整數），
R₂=P（Q₂-20）=（-2x+80）（45-20）=-50x+2000（21≤x≤30，且x為整數）；
（2）在1≤x≤20，且x為整數時，∵R₁=-（x-10）²+900，
當x=10時，R₁的最大值為900，在21≤x≤30，且x為整數時，
∵在R₂=-50x+2000中，R₂的值隨x值的增大而減小，
∴當x=21時，R₂的最大值是950，
∵950>900，
∴當x=21即在第21天時，日銷售利潤最大，最大利潤為950元。