Question

如圖，已知：為邊長是的等邊三角形，四邊形為邊長是6的正方形. 現將等邊和正方形按如圖①的方式擺放，使點與點重合，點、、在同一條直線上，從圖①的位置出發，以每秒1個單位長度的速度沿方向向右勻速運動，當點與點重合時暫停運動，設的運動時間為秒（）.

（1）在整個運動過程中，設等邊和正方形重疊部分的面積為，請直接寫出與之間的函數關系式；

（2）如圖②，當點與點重合時，作的角平分線交于點，將繞點逆時針旋轉，使邊與邊重合，得到. 在線段上是否存在點，使得為等腰三角形. 如果存在，求線段的長度；若不存在，請說明理由.

（3）如圖③，若四邊形為邊長是的正方形，的移動速度為每秒 個單位長度，其余條件保持不變. 開始移動的同時，點從點開始，沿折線以每秒個單位長度開始移動，停止運動時，點也停止運動. 設在運動過程中，交折線于點，則當時，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）當0≤t＜ 時，S＝ t²  ， 當 ≤t≤6時，S＝；

（2）①AN=AH=4時，EH＝，②AH=NH時，EH＝；（3）t＝.

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜ 時重疊部分的面積，

當≤t≤6時用S_△ABC-就可以求出重疊部分的面積．

（2）當點A與點D重合時，BE＝CE＝ 

，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時，②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，從而可以求出答案．

（3）再運動中當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

試題解析：（1）當0≤t＜ 時，S＝ t²

當 ≤t≤6時，S＝．

（2）當點A與點D重合時，BE＝CE＝，

∵BM平分∠ABE，

∴∠MBE＝∠ABE＝30°

∴ME=2，

∵∠ABM=∠BAM，

∴AM=BM=4，

∵△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=30°，AN=4

①AN=AH=4時，EH＝＝，

②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，∴舍去，

③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，如圖1，

∴AK＝ AN＝2，AH＝ 

∴EH＝  ＝．

（3）當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，

∴，

∴，

∴t＝.

考點：1.正方形的性質；2.二次函數的應用；3.全等三角形的判定與性質；4.等腰三角形的判定.