Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線的一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C，過點C作CE⊥DF，垂足為點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.5．

【解析】

試題分析：（1）證明：連接CO，證得∠OCA=∠CAE，由平行線的判定得到OC∥FD，再證得OC⊥CE，即可證得結論；

（2）證明：連接BC，由圓周角定理得到∠BCA=90°，再證得△ABC∽△ACE，根據相似三角形的性質即可證得結論．

試題解析：（1）證明：連接CO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠FAB，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：連接BC，在Rt△ACE中，AC===，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA，∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴，∴，∴AB=5，∴AO=2.5，即⊙O的半徑為2.5．