Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF.

（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證：CF+CD=BC；

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變；

①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；

②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF-CD=BC；（3）①CD-CF=BC；②2.

【解析】試題分析：(1)、根據正方形的性質判定出△BAD和△CAF全等，從而得出BD=CF，根據BD+CD=BC得出答案；(2)、根據圖形得出線段之間的關系；(3)、首先根據正方形的性質證明△BAD和△CAF全等，然后得出∠ACF=∠ABD=135°，從而說明△FCD為直角三角形，根據正方形的對角線得出DF的長度，然后根據直角三角形斜邊上的中線的性質得出OC的長度.

試題解析：(1)、∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，

則在△BAD和△CAF中，∴△BAD ≌ △CAF（SAS），∴BD=CF，

∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；

(2)、CF－CD=BC

(3)、①CD－CF =BC．

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC， ∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，

則在△BAD和△CAF中，∴△BAD ≌ △CAF（SAS），

∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABC=45°，∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的邊長為且對角線AE、DF相交于點O，

∴DF=AD=4，O為DF中點． ∴OC=DF=2．