Question

【題目】定義：角的內部一點到角兩邊的距離比為1：2，這個點與角的頂點所連線段稱為這個角的二分線．如圖1，點P為∠AOB內一點，PA⊥OA于點A，PB⊥OB于點B，且PB＝2PA，則線段OP是∠AOB的二分線．

（1）圖1中，OP為∠AOB的二分線，PB＝4，PA＝2，且OA+OB＝8，求OP的長；

（2）如圖2，正方形ABCD中，AB＝2，點E是BC中點，證明：DE是∠ADC的二分線；

（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，且∠CAB＜∠CAD，∠BDC＜∠BDA，若AC，BD分別是∠DAB，∠ADC的二分線，證明：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

【答案】（1）OP＝；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）設OA=a，OB=b，則a+b=8 ①，根據勾股定理可得b2+16=a2+4 ②，聯立①②可求a，b的值，即可求OP的長；

（2）過點E作EF⊥AD于點F，證明四邊形CDFE為矩形可得FE＝CD＝2，再根據CE＝1可得FE＝2CE.由此結論可證；

（3）分別過點C，B作CM⊥直線AD于點M，BN⊥直線AD于點N，根據角的二分線的定義可得BN=CM=2BC，通過證明四邊形NBCM是矩形，可得∠NBC=∠MCB=90°，根據過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，可得點N與點A重合，點D與點M重合，可得四邊形ABCD是矩形．

（1）設OA＝a，OB＝b，

則a+b＝8 ①，

∵PA⊥OA，PB⊥OB，

∴OP2＝OB2+BP2＝OA2+AP2，

∴b2+16＝a2+4 ②，

由①②組成方程組，

解得：

∴OP2＝OB2+BP2＝

∴OP＝

（2）如圖，過點E作EF⊥AD于點F，

在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，

∴四邊形CDFE為矩形，

∴FE＝CD＝2，

∵點E為BC中點，

∴CE＝1，

∴FE＝2CE，

∴DE是∠ADC的二分線

（3）如圖，分別過點C，B作CM⊥直線AD于點M，BN⊥直線AD于點N，

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∵AC是∠DAB二分線，

∴CM＝2BC，

∵BD是∠ADC的二分線，

∴BN＝2BC，

∴BN＝CM，

∵CM⊥AD，BN⊥AD，

∴BN∥CM，

∴四邊形NBCM是平行四邊形，

∵CM⊥AD，

∴四邊形NBCM是矩形，

∴∠NBC＝∠MCB＝90°，

∴點N與點A重合，點D與點M重合，

∴四邊形ABCD是矩形