【題目】如圖,∠A=90°,E為BC上一點,A點和E點關于BD對稱,B點、C點關于DE對稱,求∠ABC和∠C的度數.
【答案】解:∵A點和E點關于BD對稱,
∴∠ABD=∠EBD,即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD.
又B點、C點關于DE對稱,
∴∠DBE=∠C,∠ABC=2∠C.
∵∠A=90°,
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°.
∴∠C=30°
∴∠ABC=2∠C=60°.
【解析】依據軸對稱圖形的性質可得到∠ABD=∠EBD,然后依據B點、C點關于DE對稱可得∠DBE=∠BCD,結合上式可得:∠ABC=2∠BCD,且∠ABC+∠BCD=90°,進而求得∠ABC、∠C的值.
【考點精析】關于本題考查的軸對稱的性質,需要了解關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;如果兩個圖形關于某直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線;兩個圖形關于某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上才能得出正確答案.
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【題目】情境觀察:
(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F. ①寫出圖1中所有的全等三角形;
②線段AF與線段CE的數量關系是 .
(2)如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E. 求證:AE=2CD.
(3)如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE. 要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
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【題目】△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示.(不寫解答過程,直接寫出結果)
(1)若△A1B1C1與△ABC關于原點O成中心對稱,則點A1的坐標為 ;
(2)將△ABC向右平移4個單位長度得到△A2B2C2,則點B2的坐標為 ;
(3)將△ABC繞O點順時針方向旋轉90°,則點C走過的路徑長為 ;
(4)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,則點P的坐標為 .
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【題目】某市將大、中、小學生的視力進行抽樣分析,其中大、中、小學生的人數比為2:3:5,若已知中學生被抽到的人數為150人,則應抽取的樣本容量等于( )
(A)1500 (B)1000 (C)150 (D)500
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【題目】已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,點B、D分別在AN、AM上.
(1)如圖1,若∠ABC=∠ADC=90°,請你探索線段AD、AB、AC之間的數量關系,并證明之;
(2)如圖2,若∠ABC+∠ADC=180°,則(1)中的結論是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點E,交BD于點F,連接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,則∠ACF的度數為( )
A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
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