【題目】在平面直角坐標系中,點坐標為
軸上點
,將線段
繞著點
順時針旋轉
得到
,過點
作直線
軸于
,過點
作
直線
于
.
(1)當點是
的中點時,求直線
的函數表達式.
(2)當時,求
的面積.
(3)在直線上是否存在點
,使得
?若存在,試用
的代數式表示點
的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)3;(3)存在,
,
,
,
【解析】
(1)證明Rt△APO≌Rt△PED,得到EDPO,DO=OP+PD=OP+AO=3
,求出點E(
,
),P(
,0),將點代入解析式即可求解;
(2)由(1)的全等可得到PD=3,DE=5,所以S△APE3×5
3×3=3;
(3)假設在直線l上存在點G,使得∠APO=∠PFD+∠PGD,由旋轉可知△APO≌△PED,得到AP=PE,AO=PD=3,PO=ED=t;由AODF是矩形,得到DF=AO=3=PD.
①當P點在x軸負半軸,G點在x軸下方時,△GPE∽△GFP,得到,進而GP2=GEGF,得到G(3+t,
);由對稱性可得當P點在x軸負半軸,G點在x軸上方時G的坐標;
②當P在x軸正半軸,G點在x軸下方時,△PFG∽△EFP,則有,得到G(3+t,
);由對稱性可得當P在x軸正半軸,G點在x軸上方時G的坐標.
(1)∵線段AP繞點P順時針旋轉90°得到PE,
∴AP=PE,∠APE=90°.
∵∠APO+∠EPD=∠APO+∠OAP=90°,
∴∠EPD=∠OAP.
∵∠EDP=∠POA=90°,
∴Rt△APO≌Rt△PED(AAS)
∴OP=ED,AO=PD.
∵OA=3,點E是DF的中點,
∴EDPO,
∴DO=OP+PD=OP+AO=3,
∴E(,
),P(
,0).
設直線PE的解析式為y=kx+b,
∴,
∴,
∴y;
(2)∵Rt△APO≌Rt△PED,
∴OP=ED,AO=PD.
∵OA=3,OP=5,
∴PD=3,DE=5,
∴S△FPE3×5
3×3=3;
(3)假設在直線l上存在點G,使得∠APO=∠PFD+∠PGD,
由旋轉可知△APO≌△PED,
∴AP=PE,AO=PD=3,PO=ED=t,∠APO=∠PED;
∵∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°,
∴四邊形AODF是矩形,
∴DF=AO=3,
∴PD=DF=3.
①當P點在x軸負半軸,G點在x軸下方時.
∵∠APO=∠PFD+∠PGD,∠APO=∠PED,
∴∠PED=∠PFD+∠PGD.
∵∠PED=∠GPE+∠PGD,
∴∠GPE=∠PFD.
∵∠PGE=∠PGE,
∴△GPE∽△GFP,
∴,
∴GP2=GEGF.
設G(m,y).
∵PD=3,
∴D(3+t,0),
∴m=3+t,
∴GE=t-y,GF=3-y,
∴,解得:y=
,
∴DG,
∴G(3+t,);
由對稱性可知:當P在x軸負半軸,G點在x軸上方時,G(3+t,);
②當P在x軸正半軸,G點在x軸下方時.
∵∠APO=∠PFD+∠PGD,
∠PED=∠APO,
∴∠FPE=∠PGF,
∴△PFG∽△EFP,
∴,
∵△APO≌△PED,
∴OP=ED,AO=PD,
∴E(t+3,t),P(t,0),F(t+3,3),
∴,
∴FG,
∴G(3+t,);
由對稱性可知:當P在x軸正半軸,G點在x軸上方時,G(3+t,);
綜上所述:G(3+t,)或G(3+t,
)或G(3+t,
)或G(3+t,
).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,當
時,
.
(1)求這個函數的表達式;
(2)在給出的平面直角坐標系中,請用你喜歡的方法畫出這個函數的圖象并寫出這個函數的一條性質;
(3)已知函數的圖象如圖所示,結合你所畫的函數圖象,直接寫出不等式
的解集.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(本題9分)據報道,“國際剪刀石頭布協會”提議將“剪刀石頭布”作為奧運會比賽項目.某校學生會想知道學生對這個提議的了解程度,隨機抽取部分學生進行了一次問卷調查,并根據收集到的信息進行了統計,繪制了下面兩幅尚不完整的統計圖.請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有___名,扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為___;請補全條形統計圖;
(2)若該校共有學生900人,請根據上述調查結果,估計該校學生中對將“剪刀石頭布”作為奧運會比賽項目的提議達到“了解”和“基本了解”程度的總人數;
(3)“剪刀石頭布”比賽時雙方每次任意出“剪刀”、“石頭”、“布”這三種手勢中的一種,規則為:剪刀勝布,布勝石頭,石頭勝剪刀,若雙方出現相同手勢,則算打平.若小剛和小明兩人只比賽一局,請用樹狀圖或列表法求兩人打平的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了促進各科均衡發展,學校準備在九年級下期開設四科補短班,分別是英語、數學、物理和化學.為提前了解同學們最想參加的科目,學校在開學前采用隨機抽樣方式進行了調查,并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖,請根據圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統計圖中,“英語”所在扇形的圓心角度數是 ,并補全條形統計圖;
(2)在被調查的學生中,選擇化學的有2名女同學,其余為男同學,現要從中隨機抽取2名同學參加學科座談會,請用畫樹狀圖或列表的方法求出所抽取的2名同學恰好是1名男同學和1名女同學的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AC=4,BC=2,點D在射線AB上,在構成的圖形中,△ACD為等腰三角形,且存在兩個互為相似的三角形,則CD的長是_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數.
(1)求函數圖象的頂點坐標,對稱軸和與坐標軸的交點坐標,并畫出函數的大致圖象.
(2)若是函數
圖象上的兩點,且
,請比較
的大小關系(直接寫出結果).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(0,8),點 B(b,t)在直線x=b上運動,點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點,其中b是大于零的常數.
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關系式;
(3)設直線x=b與x軸交于點C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,是
的直徑,
,點
是
上方圓上的一個動點,連接
,作
的平分線
,交
于點
,過點
作
交
的延長線于點
.
(1)求證:是
的切線;
(2)當_______時,四邊形
是平行四邊形;
(3)連接交
于點
,連接
,當
_______時,
與
相似.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的邊AB:BC=3:2,點A(3,0),B(0,6)分別在x軸,y軸上,反比例函數y=(x>0)的圖象經過點D,且與邊BC交于點E,則點E的坐標為__.
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