Question

題目：如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC．由已知易證△ABE≌△ADC，得BE=DC．

擴變：
1．如圖2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠D=∠E=90°，那么 BE=DC嗎？
2．如圖3，若四邊形ABFD、四邊形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC還成立嗎？（2）BE⊥DC．
3．如圖4，若點A在線段BC上，△ABD，△AEC都是等邊三角形，那么BE=DC嗎？
4．在3題的條件下，若AD與BE交于F點，AE與CD交于G點，如圖5．
（1）AF=AG嗎？
（2）△AFG是等邊三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析：1、由△ABD，△AEC都是等腰直角三角形得到AB=

2

AD，AC=

2

AE，∠DAB=∠EAC=45°，由于∠DAC=∠BAE，則可判斷△ABE和△ADC不全等，于是BE與DC不相等．
2、（1）根據正方形的性質得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，則∠DAC=∠BAE，根據“SAS”可判斷△ABE≌△ADC，則BE=DC；
（2）由△ABE≌△ADC，則∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE，于是∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，即BE⊥DC；
3、根據等邊三角形的性質得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，則∠DAC=∠BAE，根據“SAS”可判斷△ABE≌△ADC，則BE=DC；
4、（1）由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根據“AAS”可判斷△ABF≌△ADG（ASA），則AF=AG；
（2）由于AF=AG，而∠DAE=60°，根據等邊三角形的判定方法可得到△AFG是等邊三角形．

解答：解：1．BE≠DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AD，AC=

2

AE，∠DAB=∠EAC=45°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ABE和△ADC不全等，
∴BE與DC不相等．
2．（1）BE=DC成立．理由如下：
∵四邊形ABFD、四邊形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）BE⊥DC．理由如下：AC與BE相交于N點，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE．
∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，
∴BE⊥DC；
3．BE=DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD ∠BAE=DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；

4．（1）AF=AG．理由如下：
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC．
在△ABF和△ADG中

AB=AD ∠BAF=∠DAG ∠ABF=∠ADG

，
∴△ABF≌△ADG（ASA），
∴AF=AG．
（2）△AFG是等邊三角形．理由如下：
∵AF=AG，
而∠DAE=60°，
∴△AFG是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的性質以及等邊三角形的判定與性質．