Question

【題目】已知：關于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為x1 ， x2（用含m的代數式表示）；
①求方程的兩個實數根x1 ， x2（用含m的代數式表示）；
②若mx1＜8﹣4x2 ， 直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是關于x的一元二次方程，

∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，

∵m＞3，

∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數根

（2）①由求根公式得x= ，

∴x=1，或x= ，

∵m＞3，

∴ ＞3，

當x1＜x2，

∴x1=1，x2=2﹣ ；

當x1＞x2，

這種情況不存在；

∴x1=1，x2=2﹣ ；

②∵mx1＜8﹣4x2，

∴m＜8﹣4（2﹣ ），

解得：3＜m＜2 ．

【解析】（1）由于m＞3，此方程為關于x的一元二次方程，再計算出判別式△=（m﹣3）2 ， 然后根據判別式的意義即可得到結論；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到結論；②根據mx1＜8﹣4x2 ， 即可得到 結果．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用求根公式和根與系數的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．