Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C的切線交AB的延長線于點F，連接DF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）連接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

(1) 連接OD, 直徑AB⊥弦CD，可得CE=ED，即OF為CD的垂直平分線，可得DF是⊙O的切線；

(2) 由∠BCF=30°，BF=2，可得△OCB為等邊三角形，在Rt△OCE中可求得CE的長進而求得CD的長.

（1）證明：連接OD，如圖，

∵CF是⊙O的切線

∴∠OCF=90°，

∴∠OCD+∠DCF=90°

∵直徑AB⊥弦CD，

∴CE=ED，即OF為CD的垂直平分線

∴CF=DF，

∴∠CDF=∠DCF，

∵OC=OD，

∴∠CDO=∠OCD

∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，

∴∠OCB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB為等邊三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠CFO=30°

∴FO=2OC=2OB，

∴FB=OB=OC=2，

在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，

∴OE=OC=1，

∴CE=OE=，

∴CD=2CE=．