Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求證：DE=EF；

（2）當∠A=44°時，求∠DEF的度數；

（3）當∠A等于多少度時，△DEF成為等邊三角形？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）∠DEF=68°；（3）當∠A等于60度時，△DEF成為等邊三角形，見解析.

【解析】

（1）根據AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；

（2）根據全等三角形的性質，得出∠BED=∠CFE，再根據三角形內角和定理以及平角的定義，即可求得∠DEF的度數；

（3）根據△DEF為等邊三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度數，最后根據等腰三角形ABC，求得其頂角的度數．

解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵在△BDE和△CEF中，

，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF；

（2）當∠A=44°時，∠B=∠C=（180°﹣44°）=68°，

∵△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，

∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°﹣68°=112°，

∴∠BED+∠CEF=112°，

∴∠DEF=180°﹣112°=68°；

（3）當∠A等于60度時，△DEF成為等邊三角形．

證明：若△DEF為等邊三角形，則∠DEF=60°，

∴∠BED+∠CEF=120°，

又∵△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，

∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，

∴∠C=180°﹣120°=60°=∠B，

∴△ABC中，∠A=180°﹣60°×2=60°．