Question

【題目】如圖，在圓O中，AB為直徑，EF為弦，連接AF，BE交于點P，且EF2＝PFAF．

（1）求證：F為弧BE的中點；

（2）若tan∠BEF＝，求cos∠ABE的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AE，根據EF2＝PFAF得出△AFE∽△EFP，從而得出∠EAF＝∠BEF，得證；

（2）連接BF、OF，OF交BE于點Q，根據tan∠BEF＝，設BF＝3m，則AF＝4m，根據勾股定理AB＝5m，再根據得出OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，再根據tan∠BEF＝算出BQ＝EQ＝ m，從而求算．

（1）證明：連接AE，

∵EF2＝PFAF，

∴，

∵∠AFE＝∠EFP，

∴△AFE∽△EFP，

∴∠EAF＝∠BEF，

∴，

∴F為弧BE的中點；

（2）解：連接BF、OF，OF交BE于點Q，

∵AB是直徑，

∴∠AFB＝90°

∵tan∠BEF＝，

∴tan∠BAF＝，

設BF＝3m，則AF＝4m，根據勾股定理AB＝5m，

∴OB＝OF＝m，

∵，

∴OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，

∵tan∠BEF＝，

∴，

∴

∴BQ＝EQ＝ m，

在Rt△BOQ中，cos∠ABE＝