Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），若點Q的坐標為（x，|x﹣y|），則稱點Q為點P的“關聯點”．
（1）請直接寫出點（2，2）的“關聯點”的坐標；
（2）如果點P在函數y=x﹣1的圖像上，其“關聯點”Q與點P重合，求點P的坐標；
（3）如果點M（m，n）的“關聯點”N在函數y=x2的圖像上，當0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵|2﹣2|=0，

∴點（2，2）的“關聯點”的坐標為（2，0）．

（2）

解：∵點P在函數y=x﹣1的圖像上，

∴P（x，x﹣1），則點Q的坐標為（x，1），

∵點Q與點P重合，

∴x﹣1=1，解得：x=2，

∴點P的坐標為（2，1）．

（3）

解：∵點M（m，n），

∴點N（m，|m﹣n|）．

∵點N在函數y=x2的圖像上，

∴|m﹣n|=m2．

（i）當m≥n時，m﹣n=m2，

∴n=﹣m2+m，

∴M（m，﹣m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN=|yM﹣yN|=|﹣m2+m﹣m2|=m|2m﹣1|．

①當0≤m≤ 時，MN=﹣2m2+m=﹣2 + ，

∴當m= 時，MN取最大值，最大值為 ．

②當 ＜m≤2時，MN=2m2﹣m=2 + ，

當m=2時，MN取最大值，最大值為6．

（ii）當m＜n時，n﹣m=m2，

∴n=m2+m，

∴M（m，m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN=|yM﹣yN|=|m2+m﹣m2|=m，

當m=2時，MN取最大值2．

【解析】（1）根據“關聯點”的定義結合點的坐標即可得出結論；（2）根據點P在函數y=x﹣1的圖像上，即可得出P（x，x﹣1）、Q（x，1），再根據點P、Q重合即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（3）根據“關聯點”的定義找出點N的坐標，分m≥n和m＜n兩種情況考慮，根據點N在函數y=x2的圖像上，即可用含m的代數式表示出n，再根據兩點間的距離公式即可找出MN的關系式，利用一次（二次）函數的性質即可求出線段MN的最大值．