Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣2x+m與x軸交于點A（﹣2，0），拋物線C1：y＝x2+4x+3與x軸的一個交點為B（點B在點A的左側），過點B作BD垂直x軸交直線l于點 D．

（1）求m的值和點B的坐標；

（2）將△ABD繞點A順時針旋轉90°，點B，D的對應點分別為點E，F．

①點F的坐標為　 　；

②將拋物線C1向右平移使它經過點F，此時得到的拋物線記為C2，直接寫出拋物線C2的表達式．

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，點B的坐標為（﹣3，0）；（2）①（0，1）；②y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．

【解析】

（1）由點A的坐標，利用待定系數法即可求出m的值，再利用二次函數圖象上點的坐標特征結合點B在點A的左側，即可求出點B的坐標；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點D的坐標，進而可得出BD，AB的值．

①依照題意畫出圖形，由EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1可得出點F在y軸正半軸上，進而可求出點F的坐標；

②利用配方程法將拋物線C1的表達式變形為頂點式，根據平移的性質可設拋物線C2的表達式為y＝（x+m）2﹣1，由點F的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線C2的表達式，此題得解．

解：（1）將A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，

解得：m＝﹣4．

當y＝0時，有x2+4x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，

又∵點B在點A的左側，

∴點B的坐標為（﹣3，0）．

（2）當x＝﹣3時，y＝﹣2x﹣4＝2，

∴點D的坐標為（﹣3，2），

∴BD＝2，AB＝1．

①依照題意畫出圖形，則EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，

又∵點A的坐標為（﹣2，0），

∴點F在y軸正半軸上，

∴點F的坐標為（0，1）．

②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，

∴設平移后得到的拋物線C2的表達式為y＝（x+m）2﹣1．

將F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，

解得：m1＝ ，m2＝﹣，

∴拋物線C2的表達式為y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．