Question

【題目】一個拋物線形狀與二次函數y＝x2的圖象形狀和頂點相同，但開口方向不同．

（1）求拋物線解析式．

（2）如果該拋物線與一次函數y＝kx﹣2相交于A、B兩點，已知A點的縱坐標為﹣1，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2；（2）3．

【解析】

（1）由圖象形狀和頂點相同，但開口方向不同可知二次項系數a互為相反數即可得出函數解析式.
（2）利用拋物線解析式和點A的縱坐標求出A的坐標，把A的坐標代入y=kx-2，根據待定系數法求得解析式，然后解析式聯立求得B的坐標，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．

解：（1）形狀與二次函數y＝x2的圖象形狀和頂點相同，但開口方向不同，

此拋物線解析式為y＝﹣x2．

（2）∵A點的縱坐標為﹣1，

把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，

∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）

把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，

解得k＝1，

把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，

解得k＝﹣1，

∴一次函數表達式為y＝x﹣2或y＝-x﹣2，

∴令x＝0，得y＝﹣2，

∴G（0，﹣2），

I.當一次函數表達式為y＝﹣x﹣2時，

由一次函數與二次函數聯立可得，

解得或，

∴B（2，﹣4），

∴S△OAB＝S△AOG+S△BOG＝＝3，

II.同理證得當一次函數表達式為y＝x﹣2時，S△OAB＝3，

故△OAB的面積為3．