Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC與BD相交于點O，點E在線段OB上，AE的延長線與BC相交于點F，OD2 = OB·OE．

（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；

（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求證：△ABE∽△ACD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意，得到，然后由AD∥BC，得到，則，即可得到AF//CD，即可得到結論；

（2）先證明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后證明得到，即可得到△ABE∽△ADC.

證明：（1）∵OD2 =OE · OB，

∴．

∵AD//BC，

∴．

∴．

∴ AF//CD．

∴四邊形AFCD是平行四邊形．

（2）∵AF//CD，

∴∠AED=∠BDC，．

∵BC=BD，

∴BE=BF，∠BDC=∠BCD

∴∠AED=∠BCD．

∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，

∴∠AEB=∠ADC．

∵AE·AF=AD·BF，

∴．

∵四邊形AFCD是平行四邊形，

∴AF=CD．

∴．

∴△ABE∽△ADC．