Question

【題目】如圖（1），E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED．

（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？
③在圖（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數量關系，并證明你的結論．
（2）拓展：如圖（2），射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的四個區域（不含邊界，其中③④位于直線AB的上方），P是位于以上四個區域上點，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關系．（不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：過點E作EF∥CD，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）

（2）解：點P在區域①時，

如圖1，在五邊形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°

∴∠EPF=540°﹣∠B﹣∠C﹣（∠PEB+∠PFC）=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點P在區域②時，如圖2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點P在區域③時，如圖3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點P在區域④時，如圖4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①、②、③做出平行線，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再利用角的的和差及等量代換即可得證；
（2）分四個區域分別找出三個角關系即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質和平行線的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質．