Question

△ABC是銳角三角形，BC=6，面積為12，點P在AB上，點Q在AC上，如圖所示，正方形PQRS（RS與A在PQ的異側）的邊長為x，正方形PQRS與△ABC公共部分的面積為y．
（1）當RS落在BC上時，求x；
（2）當RS不落在BC上時，求y與x的函數關系式；
（3）求公共部分面積的最大值．

Answer 1

（1）過A作AD⊥BC于D交PQ于E，則AD=4，
由△APQ∽△ABC，得

4-x

4

=

x

6

，故x=

12

5

．

（2）①當RS落在△ABC外部時，由△APQ∽△ABC，得AE=

2

3

x，
故y=x（4-

2

3

x）=-

2

3

x²+4x（

12

5

＜x≤6）；
②當RS落在△ABC內部時，y=x²（0＜x＜

12

5

）．

（3）①當RS落在△ABC外部時，y=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6 （

12

5

＜x≤6），
∴當x=3時，y有最大值6，
②當RS落在BC邊上時，由x=

12

5

可知，y=

144

25

，
③當RS落在△ABC內部時，y=x²（0＜x＜

12

5

），
故比較以上三種情況可知：公共部分面積最大為6；