Question

【題目】在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DE=DA（如圖1）.

（1）求證：∠BAD=∠EDC；

（2）點E關于直線BC的對稱點為M，連接DM，AM.

①依題意將圖2補全；

②小姚通過觀察、實驗提出猜想：在點D運動的過程中，始終有DA=AM，小姚把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證明DA=AM，只需證△ADM是等邊三角形；

想法2：連接CM，只需證明△ABD≌△ACM即可.

請你參考上面的想法，幫助小姚證明DA=AM（一種方法即可）.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，得出∠E＝∠DAC，根據等邊三角形的性質，得出∠BAD＋∠DAC＝∠E＋∠EDC＝60°，據此可得出∠BAD＝∠EDC；

（2）①根據軸對稱作圖即可；②要證明DA＝AM，只需根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，證△ADM是等邊三角形即可.

解：（1）如圖1，∵DE＝DA，

∴∠E＝∠DAC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB＝∠DCA＝60°，

即∠BAD＋∠DAC＝∠E＋∠EDC＝60°，

∴∠BAD＝∠EDC；

（2）①補全圖形如圖2；

由軸對稱可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，

∵DE＝DA，

∴DM＝DA，

由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，

∴∠MDC＝∠BAD，

∵△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝180°∠B＝120°，

∴∠MDC＋∠ADB＝120°，

∴∠ADM＝180°120°＝60°，

∴△ADN是等邊三角形，

∴AD＝AM.