Question

【題目】閱讀下列材料，完成相應任務：

折紙三等分角 三等分角問題（trisection of an angle）是二千四百年前，古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一（三等分任意角、化圓為方、倍立方），即用圓規與直尺（沒有刻度，只能做直線的尺子）把一任意角三等分，這問題曾吸引著許多人去研究，但無一成功．1837年法國數學家凡齊爾（1814～1848）運用代數方法證明了，僅用尺規不可鞥呢三等分角． 如果作圖工具沒有限制，將條件放寬，將任意角三等分是可以解決的．下面介紹一種折紙三等分任意銳角的方法： ①在正方形紙片上折出任意∠SBC，將正方形ABCD對折，折痕為記為MN，再將矩形MBCN對折，折痕記為EF，得到圖1； ②翻折左下角使點B與EF上的點T重合，點M與SB上的點P重合，點E對折后的對應點記為Q，折痕為記為GH，得到圖2； ③折出射線BQ，BT，得到圖3，則射線BQ，BT就是∠SBC的三等分線． 下面是證明BQ，BT是∠SBC三等分線的部分過程： 證明：過T作TK⊥BC，垂足為K，則四邊形EBKT為矩形 根據折疊，得EB=QT，∠EBT=∠QTB，BT=TB ∴△EBT≌△QTB， ∴∠BQT=∠TEB=90°， ∴BQ⊥PT …

學習任務：
（1）將剩余部分的證明過程補充完整；
（2）若將圖1中的點S與點D重合，重復材料中的操作過程得到圖4，請利用圖4，直接寫出tan15°=（不必化簡）

Answer 1

【答案】
（1）解：剩余的證明過程如下：

∵ME=PQ，EB=QT，ME=EB，

∴PQ=QT，

∴BP=BT，

∴∠PBQ=∠TBQ，

∵TK=BE，

∴TK=TQ，

∴∠QBT=∠TBC，

∴射線BQ，BT是∠SBC的三等分線

（2）2﹣
【解析】解：（2）同（1）可知：射線BQ，BT是∠DBC的三等分線，

過T作TJ⊥BC，垂足為J，如圖所示：

則∠TBJ= ∠DBC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DBC=45°，

∴∠TBJ=15°，

由折疊性質得：BH=HT，

∴∠TBJ=∠HTB=15°，

∴∠THJ=30°，

設BC=4，則BE=1，

∵將正方形ABCD對折，折痕為記為MN，再將矩形MBCN對折，折痕記為EF，TJ⊥BC，

∴四邊形EBJT為矩形，

∴TJ=BE=1，

在Rt△THJ中，∠THJ=30°，

∴HT=2TJ=2，HJ=cot30°TJ= ×1= ，

∴BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ ，tan∠TBJ= = =2﹣ ，

即tan15°=2﹣ ；

所以答案是：2﹣ ．

【考點精析】掌握翻折變換（折疊問題）和銳角三角函數的定義是解答本題的根本，需要知道折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．