Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=6,AC=8,點D為邊BC的中點,點P為射線AB上的一動點,點Q為邊AC上的一動點,且∠PDQ=90.

(1)當DP⊥AB時，求CQ的長；

(2)當BP=2，求CQ的長；

(3)連結AD，若AD平分∠PDQ，求DP：DQ.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）CQ的長為或；（3）4:3；

【解析】

（1）首先證明DQ∥AB，根據平行線等分線段定理即可解決問題.

（2）分情況討論，①中，當點P在線段AB上時，作DM⊥AB,DN⊥AC，由相似推出QN=，推出PM=BM－PB=1，再推出QN=；②中，當點P在AB的延長線上，根據PM,QN的值，CQ=QN+CN計算即可.

（3）首先證明四邊形AMDN是正方形，由全等推出PM=NQ，推出PD+DQ的值，再由（2）結論即可計算.

(1)如圖1中，

∵DP⊥AB，DQ⊥DP，

∴DQ∥AB，

∵BD=DC，

∴CQ=AQ=4.

(2)①如圖2中，當點P在線段AB上時，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，

則四邊形AMDN是矩形，DM、DN分別是△ABC的中位線，DM=4，DN=3，

∵∠PDQ=∠MDN=90°，

∴∠PDM=∠QDN,∵∠DNQ∠DMP=90°，

∴△PDM∽△QDN，

∴= =，

∴QN=PM，

∵PM=BMPB=32=1，

∴QN=，

∴CQ=QN+CN=+4=.

②如圖3中,當點P在AB的延長線上時,PM=5,QN=,CQ=QN+CN=4+=，

綜上所述,當BP=2,求CQ的長為或.

(3)如圖4中，作AM⊥DP于M，AN⊥DQ于N.

∵AD平分∠PDQ，

∴AM=AN，

∵∠AMD=∠AND=∠MDN=90，

∴四邊形AMDN是矩形，∵AM=AN，

∴四邊形AMDN是正方形，

∴∠MAN=90，DM=DN，

∵∠BAC=∠MAN=90，

∴∠PAM=∠NAQ，

∴△APM≌△AQN，

∴PM=NQ，

∵AB=6，AC=8，

∴BC= =10，AD=5，

∵PD+DQ=(PM+MD)+(DNQN)=2DM=AD=，

由(2)可知PD:QD=4:3，