Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）兩點，與y軸相切于點B（0，4）．

（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得： ，

解得 ．

∴經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式為：y= x2+ x+4

（2）

解：∵y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，

∴E（﹣5，﹣ ），

設直線CE的函數解析式為y=mx+n，

直線CE與y軸交于點G，則 ，

解得： ，

∴y= x+ ，

在y= x+ 中，令x=0，y= ，

∴G（0， ），

如圖1，連接AB，AC，AG，

則BG=OB﹣OG=4﹣ = ，

CG= = = ，

∴BG=CG，AB=AC，

在△ABG與△ACG中，

，

∴△ABG≌△ACG，

∴∠ACG=∠ABG，

∵⊙A與y軸相切于點B（0，4），

∴∠ABG=90°，

∴∠ACG=∠ABG=90°

∵點C在⊙A上，

∴直線CE與⊙A相切

（3）

解：存在點F，使△BDF面積最大，

如圖2連接BD，BF，DF，設F（t， t2+ t+4），

過F作FN∥y軸交BD于點N，

設直線BD的解析式為y=kx+d，則 ，

解得 ．

∴直線BD的解析式為y= x+4，

∴點N的坐標為（t， t+4），

∴FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，

∴S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，

∴當t=﹣4時，S△BDF最大，最大值是16，

當t=﹣4時， t2+ t+4=﹣2，

∴F（﹣4，﹣2）．

【解析】（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函數的解析式即可得到結果；（2）由y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，得到頂點坐標E（﹣5，﹣ ），求得直線CE的函數解析式y= x+ ，在y= x+ 中，令x=0，y= ，得到G（0， ），如圖1，連接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣ = ，CG= ，得到BG=CG，AB=AC，證得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A與y軸相切于點B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得結論；（3）如圖2，連接BD，BF，DF，設F（t， t2+ t+4），過F作FN∥y軸交BD于點N，求得直線BD的解析式為y= x+4，得到點N的坐標為（t， t+4），于是得到FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．