Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，⊙O是△ABC的外接圓，CD與⊙O相切于點C，點P是劣弧BC上的一個動點（點P不與點B、C重合），連結PA、PB、PC．

（1）求證：；

（2）當時，試判斷△APC與△CBA是否全等，請說明理由；

（3）填空：當的度數為_________時，四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）全等，見解析；（3）60°

【解析】

（1）連接CO交AB于點E，由CD與圓O相切于點C，得到CE⊥CD，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥CD，因此CE⊥AB，所以AE=BE，于是CA=CB；

（2）當AC=AP時，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，則∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根據圓周角定理得∠ABC=∠APC，則∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；

（3）如圖2，連接OC，AC，OB，根據平行線的性質得到∠BCD=120°，根據切線的性質得到∠OCD=90°，推出BO垂直平分AC，即可得到結論．

如圖1，連接CO交AB于點E，

∵CD與圓O相切于點C，

∴CE⊥CD，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴CA=CB；

(2)當AP=AC時,△APC≌△CBA，理由如下：

∵CA=CB，AP=AC

∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，

∵∠ABC=∠APC，

∴∠BAC=∠ACP，

在△APC與△CBA中，

∴△APC≌△CBA（AAS）;

(3)當∠ABC的度數為60°時，四邊形ABCD是菱形，

如圖2，連接OC，AC，OB，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCD=120°，

∵CD與O相切于點C，

∴∠OCD=90°，

∴∠BCO=30°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABO=30°，

∴BO垂直平分AC，

∴AB=BC，

∴四邊形ABCD是菱形。

故答案為60°.