Question

【題目】問題發現：數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AD是BC邊上的中線，求AD的長度．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，則AD＝AE

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB

∴∠DBE＝∠DCA，BE＝AC

∴BE∥AC

∴∠EBA+∠BAC＝180°

∵∠BAC＝90°

∴∠EBA＝90°

在△EBA和△CAB中

∴△EBA≌△CAB

∴AE＝BC

∵BC＝10

∴AD＝AE＝BC＝5

（1）若將上述問題中條件“BC＝10”換成“BC＝a”，其他條件不變，則可得AD＝　 　．

從上得到結論：直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半．

（感悟）解題時，條件中若出現“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形進而求解．

問題解決：（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，M是AB的中點．若CM＝6.5，BC+CD+DA＝17，求四邊形ABCD的面積．

問題拓展：（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，∠DFE與∠AEF的度數滿足數量關系：∠DFE＝k∠AEF，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30；（3）k＝3

【解析】

問題發現（1）：證明△ADC≌△EDB（SAS），可得∠DBE＝∠DCA，BE＝AC，證明△EBA≌△CAB（SAS），可得出AE＝BC，則可求出答案；

問題解決：（2）延長CM、DA交于點E．根據AAS可以證明△AME≌△BMC，則ME＝MC＝6.5，AE＝BC；根據BC+CD+DA＝17，得DE+DC＝17①，根據勾股定理，得DE2+DC2＝CE2＝169②，聯立求得DECD的值，即可求得答案；

問題拓展：（3）連接CF并延長交BA的延長線于G，先證明CF＝GF，再由直角三角形斜邊上的中線性質可證明EF＝CF，得出∠G＝∠FEG，再證明AF＝AG，得出∠G＝∠AFG＝∠DFC，即可求出答案．

解：（1）問題發現：

延長AD到E，使DE＝AD，則AD＝AE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴∠DBE＝∠DCA，BE＝AC，

∴BE∥AC，

∴∠EBA+∠BAC＝180°，

∵∠BAC＝90°

∴∠EBA＝90°

在△EBA和△CAB中，

，

∴△EBA≌△CAB（SAS）

∴AE＝BC，

∵BC＝a，

∴AD＝AE＝BC＝．

故答案為：．

問題解決：（2）

如圖②，延長CM、DA交于點E．

∵AD∥BC，

∴∠MAE＝∠B，∠E＝∠BCM．

又AM＝BM，

∴△AME≌△BMC（AAS）．

∴ME＝MC＝6.5，AE＝BC．

又BC+CD+DA＝17，∠D＝90°，

∴DE+DC＝17①，DE2+DC2＝CE2＝169②．

∴DECD＝ [（DE+DC）2﹣DE2﹣DC2]＝60．

∴四邊形ABCD的面積為S＝DECD＝30．

問題拓展：（3）

連接CF并延長交BA的延長線于G，如圖③所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD

∵F是AD的中點，

∴CF＝GF，

∵CE⊥AB，

∴∠CEG＝90°，

∴EF＝CG＝CF＝GF，

∴∠G＝∠FEG，

∵AD∥BC，CF＝GF，

∴AG＝AB，

∴AF＝AG，

∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，

∵∠CFE＝∠G+∠AEF，

∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF，

∵∠DFE＝k∠AEF，

∴k＝3．