Question

【題目】如圖，直線AB：y=kx+b交拋物線y=于點A、B（A在B點左側），過點B的直線BD與拋物線只有唯一公共點，且與y軸負半軸交于點D．

（1）若k=，b=2，求點A、B兩點坐標；

（2）AB交y軸于點C，若BC=CD，OC=CE，點E在y軸正半軸上，EF∥x軸，交拋物線于點F，求EF的長；

（3）在（1）的條件下，P為射線BD上一動點，PN∥y軸交拋物線于點N，交直線于點Q，PM∥AN交直線于點M，求MQ的長．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，1），B（4，4）；（2）2 ；（3）3．

【解析】

（1）先表示出直線AB解析式，聯立拋物線解析式，建立方程組即可求出點A，B坐標；

（2）設出直線BD解析式，聯立拋物線解析式，建立方程，利用判別式為0，得出c=-a2，B（2a，a2），表示出C的坐標，利用BC=CD建立方程求出b=1，進而求出E，F的坐標，即可得出結論．

（3）先求出直線BD解析式，利用有唯一交點，求出直線BD解析式，設出點P坐標，進而表示出Q，N坐標，進而求出直線AN解析式，利用平行求出直線PM解析式，即可得出點M坐標，最后用兩點間距離公式即可得出結論．

解：（1）∵k=，b=2，

∴直線AB：y=x+2①，

∵拋物線②，

聯立①②解得，或，

∴A（﹣2，1），B（4，4）；

（2）設直線BD的解析式為y=ax+c③，

∵拋物線④，

聯立③④得，x2﹣4ax﹣4c=0，

∵直線BD與拋物線只有唯一公共點，

∴△=16a2+16c=0，

∴c=﹣a2，

∴直線BD的解析式為y=ax﹣a2，

∴B（2a，a2），D（0，﹣a2）

∵直線AB：y=kx+b，

∴C（0，b），

∴CD2=（b+a2）2，BC2=4a2+（a2﹣b）2，

∵BC=CD，

∴（b+a2）2=4a2+（a2﹣b）2，

∴b=1，

∴OC=1，

∵OC=CE，

∴CE=1，

∴OE=2，

令y=2，則有x2=2，

∴x=±2，

∴EF=2；

（3）由（1）知，直線AB：y=x+2，A（﹣2，1），B（4，4），

∴設直線BD的解析式為y=k'（x﹣4）+4⑤，

∵拋物線⑥，

聯立⑤⑥得，x2﹣4k'x+16k'﹣16=0，

∵直線BD與拋物線只有唯一公共點，

∴△=16k'2﹣4（16k'﹣16）=0，

∴k'=2，

∴直線BD的解析式為y=2（x﹣4）+4=2x﹣4，

設P（m，2m﹣4），

∴Q（m，m+2），N（m， m2），

∵A（﹣2，1），

∴直線AN的解析式為y=x+m，

∵PM∥AN，P（m，2m﹣4），

∴直線PM的解析式為y=x+（m﹣2）（8﹣m）⑦，

∵直線AB：y=x+2⑧，

聯立⑦⑧解得，M（m﹣6，（m﹣2）），

∵Q（m， m+2），

∴MQ2=（m﹣6﹣m）2+[（m﹣2）﹣m+2]2=36+9=45，

∴MQ=3．