Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，C是⊙O上的點，AC∥OP，M是直徑AB上的動點，A與直線CM上的點連線距離的最小值為d，B與直線CM上的點連線距離的最小值為f．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）設OP=AC，求∠CPO的正弦值；

（3）設AC=9，AB=15，求d+f的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠OCA，由平行線的性質得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代換得到∠COP=∠BOP，由切線的性質得到∠OBP=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）過O作OD⊥AC于D，根據相似三角形的性質得到CDOP=OC2，根據已知條件得到，由三角函數的定義即可得到結論；
（3）連接BC，根據勾股定理得到BC==12，當M與A重合時，得到d+f=12，當M與B重合時，得到d+f=9，于是得到結論．

（1）連接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴∠OBP=90°，
在△POC與△POB中，

，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）過O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴，
∴CDOP=OC2，
∵OP=AC，
∴AC=OP，
∴CD=OP，
∴OPOP=OC2
∴，
∴sin∠CPO=；
（3）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=15，
∴BC==12，
當CM⊥AB時，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=15，
當M與B重合時，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范圍是：9≤d+f≤15．