Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(4，0)，B(0，3)，以線段AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°.若第二象限內有一點P，且△ABP的面積與△ABC的面積相等．

(1)求直線AB的函數表達式．

(2)求a的值．

(3)在x軸上是否存在一點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x＋3；(2) a＝－5；(3) 存在點M(－1，0)或(9，0)或(10，0)或（，0），使△MAC為等腰三角形．

【解析】設直線AB的函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)，把點A(4，0)，B(0，3)代入，用待定系數法求解即可；

（2）利用勾股定理求出AB的長，從而求出△ABC的面積；過點P作PD⊥x軸于點D，根據S△ABP＝S梯形PDOB＋S△AOB－S△APD列式求解即可；

（3）分①當以點A為頂點時，②當以點C為頂點時，③當以點M為頂點時三種情況求解.

(1)設直線AB的函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)．由題意，得

，解得

∴直線AB的函數表達式為y＝－x＋3.

(2)如解圖，過點P作PD⊥x軸于點D.

易得BO＝3，AO＝4，

∴AB＝＝5.

∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，

∴S△ABC＝.

∵點P（a，）且在第二象限，

∴PD＝，OD＝－a，

∴S△ABP＝S梯形PDOB＋S△AOB－S△APD

＝＋×3×4－×(4－a)×＝－a＋5，

∴－a＋5＝，解得a＝－5.

(3)存在．

如解圖，分三種情況討論：

①當以點A為頂點時，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交x軸于點M1，M2，

易知AM1＝AM2＝AC＝5，

∴點M1(－1，0)，M2(9，0)．

②當以點C為頂點時，以點C為圓心，AC長為半徑畫弧，交x軸于點M3，過點C作CE⊥x軸于點E.

易知△AOB≌△CEA≌△CEM3，

∴EM3＝AE＝BO＝3，CE＝AO＝4，

∴點M3(10，0)．

③當以點M為頂點時，作AC的中垂線交x軸于點M4.

易得點C(7，4)，

又∵點A(4，0)，

∴AC的中點坐標為（，0）.

易知AB平行于AC的中垂線，故可設AC中垂線的函數表達式為y＝－x＋b.

由題意，得－×＋b＝2，解得b＝，

∴AC中垂線的函數表達式為y＝－x＋.

令y＝0，得x＝，

∴點M4（，0）.

綜上所述，存在點M(－1，0)或(9，0)或(10，0)或，使△MAC為等腰三角形．