Question

【題目】如圖，AB是的直徑，弦于H，過CD延長線上一點E作的切線交AB的延長線于切點為G，連接AG交CD于K．

求證：；

若，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；

在的條件下，若，，求FG的長．

Answer 1

【答案】證明見解析；，理由見解析；．

【解析】

如圖1，連接根據切線性質及，可以推出，根據等角對等邊得到；

與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD，由，及，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出與相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到，可推知，從而得到；

如圖3所示，連接OG，OC，先求出，再求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在中，解直角三角形即可求得FG的長度．

如答圖1，連接OG．

為切線，

，

，

，

又，

，

，

．

，理由為：連接GD，如圖2所示．

，即，

，

又，

∽，

，

又，

，

；

連接OG，OC，如圖3所示，

，設，則，，

，，

，

．

在中，根據勾股定理得，

即，解得．

設半徑為r，在中，，，，

由勾股定理得：，

即，解得

為切線，

為直角三角形，

在中，，，

．