Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，過點B作⊙O的切線交OE的延長線于點D，連接DC并延長交BA的延長線于點F．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF＝4．

【解析】

（1）連接OC，根據平行線的性質得到∠1＝∠ACB，由圓周角定理得到∠1＝∠ACB＝90°，根據線段垂直平分線的性質得到DB＝DC，求得∠DBE＝∠DCE，根據切線的性質得到∠DBO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到結論；（2）證明△AOC是等邊三角形，解Rt△COF即可得到結論；

解：

（1）證明：如圖，連接OC，

，

∵OE∥AC，

∴∠1＝∠ACB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠1＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥BC，由垂徑定理得OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴∠DBE＝∠DCE，

又∵OC＝OB，

∴∠OBE＝∠OCE，

即∠DBO＝∠OCD，

∵DB為⊙O的切線，OB是半徑，

∴∠DBO＝90°，

∴∠OCD＝∠DBO＝90°，

即OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半徑，

∴DC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴∠3＝60°，又OA＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠COF＝60°，

在Rt△COF中，tan∠COF＝，

∴CF＝；