Question

已知：如圖，過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點，若二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，且頂點在矩形ADBC內（包括三邊上），則a的取值范圍是

-

1

2

≤a≤-

1

9

．

Answer 1

分析：由過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點，即可求得點A與B的坐標，繼而求得點D的坐標，又由二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，且頂點在矩形ADBC內（包括三邊上），可得a＜0，然后由|a|越大，開口越小，可得當頂點在頂點在AC上時，a最小，當頂點在頂點在BD上時，a最大，繼而求得答案．

解答：解：∵過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點，
∴點A（2，2），點B（3，1），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴D（3，2），
∵二次函數頂點y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，且在矩形ADBC內（包括三邊上），
∴a＜0，
∵|a|越大，開口越小，
即a越小，開口越小，
∴當頂點在頂點在AC上時，a最小，
設此時頂點坐標為（2，m），且1≤m≤2，
則二次函數的解析式為：y=a（x-2）²+m，
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，
∴a（0-2）²+m=0，
解得：a=-

m

4

，
∴當m=2時，a最小，a=-

1

2

；
∴當頂點在頂點在BD上時，a最大，
設此時頂點坐標為（3，n），且1≤n≤2，
則二次函數的解析式為：y=a（x-3）²+n，
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，
∴a（0-3）²+n=0，
解得：a=-

n

9

，
∴當m=1時，a最大，a=-

1

9

；
∴a的取值范圍是：-

1

2

≤a≤-

1

9

．
故答案為：-

1

2

≤a≤-

1

9

．

點評：此題考查了二次函數的性質、二次函數的解析式一般式與頂點式以及矩形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．