Question

已知：如圖，過點O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0），交y軸的負半軸于點D；弧OBM與弧OAM關于x軸對稱，其中A、B、C是過點P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點，以點B為頂點且過點D的拋物線l交⊙P與另一點E．
（1）當m=4時，求出拋物線l的函數關系式并寫出點E的坐標；
（2）當m取何值時，四邊形BDCE面積最大？最大面積是多少？
（3）是否存在實數m，使得四邊形BDCE為菱形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接OP，PM，設AC與OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐標分別為（4，2），（4，-2），（4，-8）．可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，根據圓和拋物線的對稱性可知：E點和D點關于拋物線的對稱軸x=4對稱，因此根據D的坐標即可求出E點的坐標．
（2）根據M（2m，0）得出A、B、C、D、E點的坐標，進而表示出四邊形BDCE的面積，利用二次根式性質得出最值即可．
（3）如果以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直平分，如果設BC，DE的交點為F，那么BF=CF，可用A點的縱坐標即AN的長表示出BF和CF由此可求出A點的縱坐標，進而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）連接OP，OB，
∵過點O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0），m=4，
∴M點坐標為：（8，0），
∴ON=4，
∴NP=

52-42

=3，
∴AN=5-NP=2，
∴BN=2，
∴B點坐標為：（4，-2），P點坐標為：（4，-3），
圖象過（0，0）點，
故將頂點（4，-2）代入頂點式得y=a（x-4） ²-2，
則0=a（0-4）²-2，
解得a=-

1

4

．
拋物線的函數關系式為：y=-

1

4

（x-4）²-2．
x=0時，y=-6，故D點坐標為（0，-6），拋物線對稱軸為x=4，
故根據對稱可知：E（8，-6）；

（2）∵點M（2m，0），
∴AN=PA-NP=5-

25-m2

，故A點坐標為：（m，5-

25-m2

），可得B（m，-5+

25-m2

），
C（m，-5-

25-m2

），D（0，-2

25-m2

），E（2m，-2

25-m2

），
四邊形BDCE的面積為：S=

1

2

BC•DE=

1

2

×2

25-m2

×2m=2

25m2-m4

=2

-(m2- 25 2 )2+ 625 4

，
所以當m2=

25

2

，即m=±

5 2

2

（負值舍去）時，面積有最大值．
四邊形面積的最大值為：S=2

625 4

=25．


（3）設A（m，h），則B的坐標為（m，-h），C的坐標為（m，h-10），
假設以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，設DE與BC相交于點F，于是BF=CF．
則10-3h=h，
即h=

5

2

，
故BC=5，
此時B、P兩點重合，
故m=

52-( 5 2

)2=

5

2

3

，
或：因為BC垂直且平分DE，所以DE平分BC時，四邊形BDCE是菱形．
-2

25-m2

=-5，m=

5 3

2

．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．