Question

【題目】如圖，已知關于的一元二次函數（）的圖象與軸相交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，頂點為．

⑴ 求出一元二次函數的關系式；

⑵ 點為線段上的一個動點，過點作軸的垂線，垂足為．若，的面積為，求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；

⑶ 探索線段上是否存在點，使得為直角三角形，如果存在，求出的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）P點坐標為：，.

【解析】

（1）可根據OB、OC的長得出B、C兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．

（2）求出P點的坐標，據此可根據三角形的面積計算方法求出S與m的函數關系式．

（3）先根據拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線BM的解析式，以及P點縱坐標，即可得出符合條件的P點的坐標．

解：⑴、．

解得，

所以

⑵∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴．

設：，

則得所以．

所以，

（）

（3）∵若∠PDC是直角，則點C在x軸上，由函數圖象可知點C在y軸的正半軸上，

∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，當∠DPC=90°時，
當CP∥AB時，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P點縱坐標為：3，代入y=-2x+6，

，此時P，

當∠P′CD′=90°時，△COD′∽△D′CP′，
此時CD′2=COP′D′，
即9+m2=3（-2m+6），
∴m2+6m-9=0，
解得：，

∵1≤m＜3，

，

，

綜上所述：P點坐標為：，.