Question

【題目】如圖，△ABC中AC=BC，點D，E在AB邊上，連接CD，CE．

(1)如圖1，如果∠ACB=90°，把線段CD逆時針旋轉90°，得到線段CF，連接BF，

①求證：△ACD≌△BCF；

②若∠DCE=45°， 求證：DE2=AD2+BE2；

(2)如圖2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三條線段的數量關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）DE2= EB2+AD2+EB·AD，證明詳見解析

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得CF=CD，∠DCF=90°，再根據已知條件即可證明△ACD≌△BCF；

②連接EF，根據①中全等三角形的性質可得∠EBF=90°，再證明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可證明；

（2）根據（1）中的思路作出輔助線，通過全等三角形的判定及性質得出相等的邊，再由勾股定理得出AD，DE，BE之間的關系．

解：（1）①證明：由旋轉可得CF=CD，∠DCF=90°

∵∠ACD=90°

∴∠ACD=∠BCF

又∵AC=BC

∴△ACD≌△BCF

②證明：連接EF，

由①知△ACD≌△BCF

∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD

∴∠EBF=90°

∴EF2=BE2+BF2，

∴EF2=BE2+AD2

又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°

∴∠FCE=∠DCE=45°

又∵CD=CF，CE=CE

∴△DCE≌△FCE

∴EF=DE

∴DE2= AD2+BE2

⑵DE2= EB2+AD2+EB·AD

理由：如圖2，將△ADC繞點C逆時針旋轉60°，得到△CBF，過點F作FG⊥AB，交AB的延長線于點G，連接EF，

∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD

∵AC=BC，∠ACB=60°

∴∠CAB=∠CBA =60°

∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°

∴BG=BF，FG=BF

∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，

∴∠ACD+∠BCE=30°，

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°

∵CD=CF，CE=CE

∴△ECF≌△ECD

∴EF=ED

在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2

又∵EG=EB+BG

∴EG=EB+BF，

∴EF2=（EB+BF）2+（BF）2

∴DE2= （EB+AD）2+（AD）2

∴DE2= EB2+AD2+EB·AD