Question

【題目】如圖，已知為的直徑，、為的切線，、為切點，連接、，交于點，交于，的延長線交于點，給出下列結論：①；②點為的內心；③；④，其中正確的是（ ）

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據切線長定理，證△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根據圓周角定理即可得出AD⊥BD，由此可證得AD∥OC；
②連接DE、BE；上面已證得=，根據弦切角定理以及圓周角定理相等，易求得DE、BE分別平分∠CDB和∠CBD；根據三角形內心的定義，即可得出結論②正確；
③根據圓周角定理得到，GF⊥BE．又由②知，BE是∠CBD的平分線，根據等腰三角形的“三合一”性質得到EG=EF．故③正確；
④若FE=FC，則∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB（因為OC⊥BD），即∠DBA=∠EAB；因此=，而這個條件并不一定成立．故④不正確．

①連接OD,DE,EB,CD，與BC是O的切線,易證△CDO≌△CBO，則∠DCO=∠BCO.故OC⊥BD.∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∴AD∥OC，故①正確；②∵CD是O的切線，∴∠CDE=12∠DOE,而∠BDE=12∠BOE，∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，因此E為△CBD的內心，故②正確；③如圖，∵AB是直徑，∴∠AEB=90，即GF⊥BE.又由②知，BE是∠CBD的平分線，∴BE是等腰△GBF的邊GF上的中垂線，則EG=EF.故③正確；④若FC=FE，則應有∠OCB=∠CEF，應有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，∴=,而和不一定相等，故④不正確.故選C.