Question

若100a+64和201a+64均為四位數，且均為完全平方數，則整數a的值是________．

Answer 1

17
分析：由于100a+64和201a+64均為完全平方數，可設100a+64=m²①，201a+64=n²②，則m、n均為正整數，又因為它們都是四位數，則1000≤m²＜10000，1000≤n²＜10000，解得m、n的取值范圍，再將②-①，得101a=n²-m²=（n+m）（n-m），因為101是質數，且-101＜n-m＜101，所以n+m=101，故a=n-m=2n-101．把a=2n-101代入201a+64=n²，得到關于n的一元二次方程，解方程求出n的值，從而求出符合條件的a值．
解答：設100a+64=m²①，201a+64=n²②，
則m、n均為正整數，且32≤m＜100，32≤n＜100．
②-①，得101a=n²-m²=（n+m）（n-m），
因為101是質數，且0＜n-m＜101，
所以n+m=101，
故a=n-m=2n-101．
把a=2n-101代入201a+64=n²，
整理得n²-402n+20237=0，
解得n=59，或n=343（舍去）．
所以a=2n-101=17．
故答案為17．
點評：本題主要考查了完全平方數的定義，一元一次不等式組的解法，因式分解，一元二次方程的解法等知識，綜合性較強，屬于競賽題型，有一定難度．