Question

【題目】閱讀下面內容，并解決問題：

《名畫》中的數學

前蘇聯著名科學家別萊利曼在他所著的《趣味代數學》中介紹了波格達諾夫·別列斯基的《名畫》，畫上那位老師拉金斯基是一位自然科學教授，放棄了大學教席(教師職務)來到農村學校當一名普通老師．畫中，黑板上寫著一道式子，如圖所示：

從這道算式計算可以得出答案等于2，如果仔細一研究，10，11，12，13，14這幾個數具有一種有趣的特性： ，而且．

請解答以下問題：

（1）還有沒有其他像這樣五個連續的整數，前三個數的平方和正好等于后兩個數的平方和呢？如果有，請求出另外的五個連續的整數；

（2）若七個連續整數前四個數的平方和等于后三個數的平方和，請直接寫出符合條件的連續整數．

Answer 1

【答案】（1）存在其他五個連續的整數－2，－1，0，1，2，前三個數的平方和正好等于后兩個數的平方和；（2）21，22，23，24，25，26，27和－3，－2，－1，0，1，2，3．

【解析】

（1）設五個連續整數為n，n+1，n+2，n+3，n+4，根據題意n2+（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2+（n+4）2，解方程得到n．
（2）設七個連續整數為n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根據題意（n-1）2+（n-2）2++（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，解方程得到n．

（1）存在其他像這樣五個連續的整數，前三個數的平方和正好等于后兩個數的平方和．

設x為這五個連續整數的第二個數．

依題意列方程，得．

化簡，得．

解這個方程，得，，

∴五個連續的整數為10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三個數的平方和正好等于后兩個數的平方和．

答：存在其他五個連續的整數－2，－1，0，1，2，前三個數的平方和正好等于后兩個數的平方和．

（2）設七個連續整數為n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根據題意得：
（n-1）2+（n-2）2+（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，
∴n2-24n=0
解得n=24或n=0，
當n=24時這五個數為21，22，23，24，25，26，27．
當n=0時這五個數為-3，-2，-1，0，1，2，3．
故答案為：符合條件的連續整數有兩組：
第一組21，22，23，24，25，26，27；
第二組-3，-2，-1，0，1，2，3．