Question

【題目】設函數f（x）=xex﹣ax（a∈R，a為常數），e為自然對數的底數． （Ⅰ）當f（x）＞0時，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）當a=2時，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整數k．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（ex﹣a）＞0， 當a≤0時，ex﹣a＞0，由x（ex﹣a）＞0，解得x＞0；
當0＜a≤1時，lna≤0，由x（ex﹣a）＞0，解得x＞0或x＜lna；
當a＞1時，lna＞0，由x（ex﹣a）＞0，解得x＞lna或x＜0；
（Ⅱ）當a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xex﹣2x＞﹣k恒成立．
令f（x）=xex﹣2x，則f′（x）=h（x）=（x+1）ex﹣2，h′（x）=（x+2）ex ．
當x∈（﹣∞，﹣2）時，h′（x）＜0，函數h（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減；
當x∈（﹣2，+∞）時，h′（x）＞0，函數h（x）在（﹣2，+∞）上單調遞增．
又∵x∈（﹣∞，﹣1）時，h（x）＜0，且h（0）=﹣1＜0，h（1）=2e2﹣2＞0．
∴存在唯一的x0∈（0，1），使得 ．
當x∈（﹣∞，x0）時，f′（x）＜0，函數f（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減；
當x∈（x0 ， +∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，x0）上單調遞增．
∴當x=x0時，f（x）取最小值．
f（x0）= ．
∵x0∈（0，1），∴f（x0）∈（﹣1，0）．
從而使f（x）+k＞0成立的最小正整數k的值為1．
【解析】（Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（ex﹣a）＞0，然后對a分類求得實數x的取值范圍；（Ⅱ）當a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xex﹣2x＞﹣k恒成立．構造函數f（x）=xex﹣2x，利用導數可得存在唯一的x0∈（0，1），使得當x∈（﹣∞，x0）時，f′（x）＜0，函數f（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減；當x∈（x0 ， +∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，x0）上單調遞增．由此可得當x=x0時，f（x）取最小值．從而使f（x）+k＞0成立的最小正整數k的值為1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．