Question

【題目】在平面直角坐標系中，若點和點關于軸對稱，點和關于直線對稱，則稱點是點關于軸，直線的“二次對稱點”．

　

（1）已知點，直線是經過且平行于軸的一條直線，則點的“二次對稱點”的坐標為______；

（2）如圖1，直線經過、，點的坐標為．

①點關于軸，直線的“二次對稱點”的坐標為______；

②當點在軸上移動，請你在圖1中畫出它關于軸，直線的“二次對稱點”的運動路徑．

（3）如圖2，是軸上的動點，線段經過點，且點點的坐標分別為，直線經過且與軸負半軸夾角為60°，在點的運動過程中，若線段上存在點，使得點是點關于軸，直線的“二次對稱點”，且點在軸上，則點的縱坐標的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）；（2）①（-1，-1）；②見解析；（3）-3＜＜1

【解析】

（1）根據“二次對稱點”的概念先算出A關于y軸對稱點，再求出該點關于l的點即可；

（2）①求出直線l的解析式，從而根據定義得出結果；

②根據對稱的性質可得運動路徑是直線，從而求出該直線，畫出即可；

（3）根據題意討論當點N分別與點R和點S重合時，求出點N′的運動路徑，再根據點N′在線段RS上得出的最大值和最小值即可.

解：（1）由題意可知：∵A（-1，0），

∴點A關于y軸對稱的點A1坐標為（1，0），

∵l是經過（0，2）且平行于軸的一條直線，即y=2，

∴點A關于軸，直線的“二次對稱點”坐標為（1，4）；

（2）①∵直線經過、，

設直線l的解析式為y=kx+b，將、，代入

，

解得，

∴直線l的解析式為：y=x+1，

∵點E（2，0），

由題意可得點E關于軸，直線的“二次對稱點”為（-1，-1）；

②由關于軸，直線的“二次對稱點”的定義可知，

當點E在x軸運動時，點E關于y軸對稱的點E1也在x軸上，

而點x軸關于直線l的對稱圖形為直線x=-1，

∴點E1關于直線l對稱點在直線x=-1上，運動軌跡如圖：

（3）∵直線經過且與軸正半軸夾角為60°，

如圖，直線l與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴∠BCO=60°，

∴BC=2CO，

在△BCO中，BO2+CO2=BC2，BO=1，

解得：CO=，即點C（，0），

結合B（0，1），可求得：直線l的表達式：，

當點N與點R重合， N（t，1），

由題意可知，如圖，此時點N′的運動路徑為l1，

∵∠CBO=90°-60°=30°，

∴∠N″BO=30°，

∵OB=1，

∴可知l1和l關于y軸對稱，

∴l1的表達式為：y=，

與y軸交點為（0，1）；

當點N和點S重合，N（t，-1），

由題意可知，如圖，此時點N′的運動路徑為l2，且l1∥l2，

設l2的解析式為y=x+b1，

當N′在l1上時，將y=-1代入l1，

解得x=，

此時N′坐標為（，-1），代入l2中，

解得b1=-3，

∴l2的解析式為y=x-3，

∴l2與y軸交點為（0，-3），

由題意可知當點N在線段RS上時，N′的運動軌跡皆為直線，且在l1和l2之間，

綜上所述，的取值范圍是：-3＜＜1.