Question

【題目】如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，現將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內部．

（1）如圖①，當圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）
（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①所示，射線OC即為所求；

（2）

解：如圖，圓心O的運動路徑長為 ，

過點O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點D、F、G，

過點O作OE⊥BC，垂足為點E，連接O2B，

過點O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分別為點H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，

∴AC= = =9 ，AB=2BC=18，∠ABC=60°，

∴C△ABC=9+9 +18=27+9 ，

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G為切點，

∴BD=BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵ ，

∴△O1BD≌△O1BG（HL），

∴∠O1BG=∠O1BD=30°，

在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，

∴BD= = =2 ，

∴OO1=9﹣2﹣2 =7﹣2 ，

∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE，且O1D=OE，

∴四邊形OEDO1為平行四邊形，

∵∠OED=90°，

∴四邊形OEDO1為矩形，

同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，

又OE=OF，

∴四邊形OECF為正方形，

∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，

∴∠GO1D=120°，

又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，

∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，

同理，∠O1OO2=90°，

∴△OO1O2∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

∴ =15+ ，即圓心O運動的路徑長為15+

【解析】（1）作∠ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可；（2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為 ，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，從而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性質即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．