Question

【題目】已知多邊形是的內接正六邊形，聯結、，點是射線上的一個動點，聯結，直線交射線于點，作交的延長線于點，設的半徑為．

（1）求證：四邊形是矩形．

（2）當經過點時，與外切，求的半徑（用的代數式表示）．

（3）當，求點、、、構成的四邊形的面積（用及含的三角比的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據正多邊形的性質和矩形的判定解答即可；

（2）連接OC、OD，證明△OCD是等邊三角形得到CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求出ON=，由四邊形ACDF是矩形得到∠AHC=∠ECD=30°，由此得到CH=2AC=，由cos∠HCM=，得CM=4r，MN=，利用勾股定理求出OM=，依據與外切即可得到答案；

（3）作HQ⊥CM于Q，由,MH⊥CH可得∠QHM=,再由AF∥CD，AC⊥CD知HQ=AC=,繼而求得CQ=，MQ=，則CM=,再分、、三種情況分別求解即可.

（1）∵多邊形是的內接正六邊形，

∴AB=AC，∠ABC=∠BAF=,

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

∴∠BAC=30°，

∴∠CAF=90°，

同理∠ACD=90°，∠AFD=90°，

∴四邊形ACDF是矩形；

（2）如圖1，連接OC、OD，

由題意得：OC=OD，

∴△OCD是等邊三角形,

作ON⊥CD，垂足為N，

∴ CN=CD=r，由得，

作OP⊥AC于點P，

∴CP=AC，

∵∠OCP=90°-60°=30°

∴CP=，

∴AC=，

當CH經過點E時，可知∠ECD=30°

∵四邊形ACDF是矩形，

∴AF∥CD

∴∠AHC=∠ECD=30°，

在Rt△ACH中，CH=2AC=，

∵MH⊥CH，

∴cos∠HCM=，得CM=4r

∴MN=，

在Rt△MON中，OM==,

∵與外切，

∴，即的半徑為，

（3）如圖2，

作HQ⊥CM于Q，

由，MH⊥CH可得∠QHM=

∵AF∥CD，AC⊥CD

∴HQ=AC=

∴，

∴CM=,

①當時，點H在邊AF的延長線上，此時點C、M、H、F構成的四邊形為梯形，

∵FH=DQ=CQ-CD=，

∴S=；

②當時，點H與點F重合，此時點C、M、H、F構成三角形，非四邊形，所以舍去；

③時，點H在邊AF上，此時點C、M、H、F構成的四邊形為梯形，

∵FH=DQ=CD-CQ=，

∴S=

綜上，點、、、構成的四邊形的面積或.