Question

【題目】下面是小星同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程：

已知：如圖，直線l和直線l外一點A

求作：直線AP，使得AP∥l

作法：如圖

①在直線l上任取一點B（AB與l不垂直），以點A為圓心，AB為半徑作圓，與直線l交于點C．

②連接AC，AB，延長BA到點D；

③作∠DAC的平分線AP．

所以直線AP就是所求作的直線

根據小星同學設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明

證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB　 　（填推理的依據）

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB　 　（填推理的依據）

∴∠DAC＝2∠ABC

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP

∴∠DAP＝∠ABC

∴AP∥l　 　（填推理的依據）

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）（等邊對等角），（三角形外角性質），（同位角相等，兩直線平行）．

【解析】

（1）根據角平分線的尺規作圖即可得；
（2）分別根據等腰三角形的性質、三角形外角的性質和平行線的判定求解可得．

解：（1）如圖所示，直線AP即為所求．

（2）證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB（等邊對等角），

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性質），

∴∠DAC＝2∠ABC，

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP，

∴∠DAP＝∠ABC，

∴AP∥l（同位角相等，兩直線平行），

故答案為（等邊對等角），（三角形外角性質），（同位角相等，兩直線平行）．