Question

【題目】如圖1，在△OMN中，∠MON=90°，OM=6cm，∠OMN=30°.等邊△ABC的頂點B與點O重合，BC在OM上，點A恰好在MN上.

（1）求等邊△ABC的邊長；

（2）如圖2,將等邊△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,邊AB、AC分別與MN交于點E、F,在△ABC平移的同時,點P從△ABC的頂點B出發,以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動,當點P達到點C時,點P停止運動,△ABC也隨之停止平移．設△ABC平移時間為t（s）

①用含t的代數式表示AE的長,并寫出t的取值范圍；

②在點P沿折線B→A→C運動的過程中,是否在某一時刻,點P、E、F組成的三角形為等腰三角形?若存在,求出此時t值；若不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3cm;(2)①（）②t值為或2或

【解析】試題分析：（1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．

（2）①由直角三角形的性質得出ON=2，MN=4．證明△OMN∽△BEM，得出對應邊成比例，得出BE，即可得出AE的長，容易得出t的取值范圍；

②△PEF為等腰三角形，分情況討論，求出t的值，如果在0＜t＜3這個范圍內就存在，否則就不存在．

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AOC=60°，

又∵∠OMN=30°

∴∠OAM=90°，OA⊥MN，

即△OAM為直角三角形，

∴OA=OM=3cm，

即等邊△ABC的邊長為3cm．

（2）①∵BM=6-t，OM=6cm，∠OMN=30°，

∴ON=2，MN=4．

∵∠M=∠M，∠N=∠MBE=60°，

∴△OMN∽△BEM，

∴，即，

∴BE=，

∴AE=AB-BE=（0≤t≤3）；

②存在；理由如下：

分4種情況：

（a）當點P在線段AB上時，點P在AB上運動的時間0≤t≤，

∵△PEF為等腰三角形，∠PEF=90°

∴PE=EF，

∵∠A=60°，∠AFE=30°，

∴EF=AE=（3-BE）=（3-）=t，

∴=t或=t，

解得t=或＞（故舍去），

（b）當點P在AF上時，

若PE=PF時，點P為EF的垂直平分線與AC的交點，

此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點，

∴PF=AP=2t-3，

∵點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，

∴0＜t＜3，在直角三角形中，cos30°=，

解得：t=2，

若FE=FP，

AF= ，

則t-（2t-3）=t，

解得：t=12-6；

（c）當PE=EF，P在AE上時無解，

（d）當P點在CF上時，AP=2t-3，AF=t，則PF=AP-AF=t-3=EF，所以t-3=t，

解得 t=12+6＞3，不合題意，舍去．

綜上，存在t值為或12-6或2時，△PEF為等腰三角形．