Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是 BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．

小王同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ；

探索延伸：

（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

【答案】問題背景：BE +DF =EF；探索延伸：結論仍然成立，理由見解析.

【解析】

問題背景：證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；

問題背景：在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案為：EF=BE+DF；

探索延伸： 結論仍然成立，理由如下：

如圖②，延長FD到G，使DG =BE，連接AG，

∵∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADG =180°，

∴∠B =∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF.