Question

如圖（1），AB是⊙O的直徑，射線AT⊥AB，點P是射線AT上的一個動點（P與A不重合），PC與⊙O相切于C，過C作CE⊥AB于E，連接BC并延長BC交AT于點D，連接PB交CE于F．
（1）請你寫出PA、PD之間的關系式，并說明理由；
（2）請你找出圖中有哪些三角形的面積被PB分成兩等分，并加以證明；
（3）設過A、C、D三點的圓的半徑是R，當CF=R時，求∠APC的度數，并在圖（2）中作出點P．（要求尺規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

Answer 1

解：（1）如圖，連接AC，
∵AT⊥AB，AB是⊙O的直徑
∴AT是⊙O的切線
又PC是⊙O的切線
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA；

（2）由（1）知PD=PA
∴△ABD被PB分成面積相等的兩個三角形
∵AT⊥AB，CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP
所以CF：PD=EF：PA
所以CF=EF
可見△CEB也被PB分成面積相等的兩個三角形；

（3）由（1）知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圓的半徑，即PA=R
由（2）知，CF=EF，而CF=R
∴EF=PA
所以=，
∵EF∥AT
∴==
∴CE=BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE=
∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等邊三角形
∴∠APC=60°
P點的作圖方法見圖．
分析：（1）連接AC，由AT，PC為⊙O的兩條切線可得PA=PC，∠PAC=∠PCA，由AB為⊙O的直徑可得∠ACB=90°，故∠PAC+∠ADC=∠PCA+∠PCD=90°，由此可以得到∠ADC=∠PCD，PC=PD=PA；
（2）由（1）知PD=PA，且同高，可見△ABD被PB分成面積相等的兩個三角形；由AT⊥AB，DE⊥AB可得CE∥AT，然后得到==，又PD=PA，所以可得CF=EF，所以△CEB也被PB分成面積相等的兩個三角形；
（3）由PA=PD=PC，可知PA為△ACD的外接圓的半徑，由（2）知CF=EF，EF=PA，再根據EF∥AT可得==，從而可得CE=BE，在Rt△ACE中，可求出∠CAE=30°，又∵AT⊥AB，可得∠PAC=60°，△PAC為等邊三角形，所以得到∠APC=60°．
點評：本題主要考查切線的性質，相似三角形的判定，三角函數等知識點，在解題時要注意數形結合．題目的難度比較大，綜合性比較強．