Question

【題目】已知拋物線的解析式為 ．

（1）若拋物線與x軸總有交點，求c的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸兩個交點為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x2＞x1 ， 若x2﹣x1=5，求c的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線與y軸的交點為C，拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線 與x軸總有交點，

∴△=（ ）2﹣4×（﹣ ）c= +2c≥0，

解得c≥﹣ ，

∴c的取值范圍是c≥﹣ ；

（2）

解：∵拋物線 與x軸兩個交點為A（x1，0），B（x2，0），

∴x1+x2=﹣ =﹣3，x1x2= ﹣2c，

∴（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=9+8c=25，

解得c=2；

（3）

解：①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，

∴ ，

又∵∠COA=∠BOC=90°，

∴△ABC～△ACC～△CBO，

∴C點就符合題意，即M1（0，2）；

②根據拋物線的對稱性可知，點（﹣3，2）也符合題意，即M2（﹣3，2）；

③當點M在第四象限時，設 ，則N（n，0），

∴ 當 時， ，

∴ ，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=2，

即得到M3（2，﹣3）；

④當 時，MN=2AN，

∴

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

即得到M4（5，﹣18）．

綜上所述：符合題意的點有四個，它們是：M1（0，2）、M2（﹣3，2）、M3（2，﹣3）、M4（5，﹣18）．

【解析】（1）根據拋物線 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 與x軸總有交點，由判別式可得c的取值范圍；（2）根據拋物線 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 與x軸兩個交點，由根與系數的關系和x2﹣x1=5， 得到關于c的方程，解方程即可求解；（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即 M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC； ④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．
【考點精析】通過靈活運用二次函數圖象以及系數a、b、c的關系，掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）即可以解答此題．