Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C90°，ACBC，AD是△ABC的角平分線，以D為圓心，DC為半徑作⊙D，交AD于點E．

（1）判斷直線AB與⊙D的位置關系并證明．

（2）若AC1，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）根據“作垂直，證相等”可證明AB與⊙D相切；

（2）分別求出所在圓的半徑和圓心有的度數，代入弧長公式進行計算即可得解.

詳解：（1）AB與⊙D相切．

證明：過點D作DF⊥AB，垂足為F．

∵AD是Rt△ABC的角平分線，∠C90°，

∴DFDC，

即dr，

∴AB與⊙D相切．

（2）∵∠C90°，ACBC1，∴∠BAC∠B45°，AB．

∵DF⊥AB，∴∠BDF∠B45°，∴BFDF．

∵AB、AC分別與⊙D相切，∴AFAC1．

設⊙D的半徑為r．易得BF，BD，

∴，∴r．

∵AD是Rt△ABC的角平分線，∠BAC45°，

∴∠DAC ∠BAC22.5°．

又∵∠C90°，∴∠CDE67.5°．

∴．